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Réflexions apicoles autour de la « loi de Poisson »…
ou quand l’événement presque impossible devient presque certain...
Par Paul SCHWEITZER
avec
l'aimable autorisation de la revue
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Une
fois n’est pas coutume, ce mois-ci nous allons parler mathématiques appliquées à
l’abeille et à l’environnement. Ce n’est pas un sujet facile car les
mathématiques ont leur langage, leur code, leur méthodologie et ces notions sont
souvent très difficiles à vulgariser. Je vais donc essayer d’expliquer mes
propos au travers d’exemples qui, je le pense, devraient permettre, même aux non
mathématiciens, de comprendre ces notions.
Imaginons
tout d’abord que vous êtes en voyage à l’autre bout de la planète sur un site
touristique très visité, les chutes du Niagara, par exemple. À peine arrivé sur
ce lieu, vous y rencontrez une connaissance, venu tout comme vous de France,
pour admirer le spectacle. Incrédule, comme presque tout le monde, vous direz :
C’est incroyable… Comme le monde est petit… Se retrouver là à l’autre bout de la
planète. C’est quand même incroyable ! ! !
Et bien, non vous vous trompez, un tel événement n’est pas incroyable et,
sous certaines conditions, il devient même certain. Je m’explique… Votre
réaction aurait été exactement la même quelle que soit la connaissance que vous
auriez rencontrée. La probabilité n’est donc pas de rencontrer une personne X
bien précise aux chutes du Niagara, mais de rencontrer une personne que vous
connaissez déjà parmi les centaines voire les milliers de personnes que chacun
d’entre nous peut connaître. Sur un site très fréquenté, y compris par des
français, cet événement n’est plus aussi improbable que l’on croit. Il peut même
devenir quasi certain si l’on passe un certain temps sur le lieu… Et absolument
certain si on le généralise à tous les instants de la vie sur n’importe quel
lieu. Tout le monde a déjà vécu des expériences semblables. Du point de vue
mathématique, la probabilité de l’événement « rencontrer une personne donnée en
un endroit précis » est extrêmement faible – on parle d’événement presque
impossible mais la répétition des possibilités de l’événement étant elle très
élevée la probabilité de sa réalisation devient certaine. La loi mathématique
qui explique ce phénomène est la « loi de Poisson ». Elle permet de modéliser
ainsi bien les mécanismes de la désintégration radioactive que les entrées de
clients dans un magasin ou en apiculture les entrées ou les sorties des abeilles
d’une ruche, l’exploitation des ressources nectarifères ou pollénifères,
certains mécanismes des dépopulations d’abeilles, la probabilité d’apparitions
de nouvelles espèces invasives dangereuses pour l’abeille, le risque OGM et sans
doute encore beaucoup d’autres phénomènes de l’écosystème « ruche ». De manière
plus générale, elle s’applique peut-être même à la probabilité d’apparition de
la vie sur une planète…
Avant
d’aborder les questions spécifiques à l’apiculture, voici l’exemple de la radio
activité. Le becquerel est l’unité de désintégration radioactive du système
international. C’est une unité très faible puisqu’elle correspond à une seule
désintégration par seconde. L’ancienne unité, le Curie, était au contraire très
élevée. Elle correspondait à l’activité de 1 gramme de radium 226 soit 3,7.1010
désintégrations par seconde. La période de cet élément est de 1622 ans. Un
gramme de radium 226 contient 2,665.1021 atomes. Au bout de 1622 ans, la moitié
se sera désintégré en se transformant en radon et en émettant des rayons
γ.
Durant l’espace d’une seconde, la probabilité pour qu’un atome précis de un
gramme de radium se désintègre est de 1,4. 10-11 soit 1,4 « chance » sur 100
milliards. C’est très faible, mais beaucoup plus élevé que pour beaucoup
d’autres radionuclides à période très longue. Malgré cette très faible
probabilité individuelle, l’événement se produit 37 milliards de fois par
seconde en raison du très grand nombre d’atomes présents dans un gramme de
radium. Nous ne sommes pas ici dans le cadre d’une loi de Poisson car les
événements par unité de temps sont trop nombreux. La distribution statistique
autour de la moyenne apparaîtra comme continue (bien qu’elle soit discontinue en
réalité) et la meilleure approximation se fera à l’aide d’une loi de
Laplace-Gauss (courbe en cloche). En fait la loi de Poisson est une « loi
binomiale » avec une probabilité très faible associée à un nombre d’événements
grands. Ces deux lois tendent vers une loi de Laplace-Gauss quand le phénomène
devient ou prend l’apparence d’un phénomène continu. Dans le cas de la
radioactivité (et dans beaucoup d’autres cas où intervient un facteur
temporelle), il est toujours possible de se ramener à une loi de Poisson en
jouant sur le temps. Ainsi la mesure de l’activité de 0,1 µg de radium 226 en
prenant pour unité de temps la milliseconde nous ramène à un chiffre moyen de
désintégrations durant cette période de temps de 3,7. La distribution des
évènements devient alors « poissonnienne ». La moyenne, notée µ, est égale à
3,7, c’est également la variance de cette distribution statistique. Des tables
ou le tableur Excel® permettent de calculer les probabilités pour que se
produisent 0, 1, 2, 3, 4, etc… événements durant la période prise en référence.
Le tableau et la courbe donne ces probabilités dans le cas précédent (nombre de
désintégration dans O,1 g de radium 226 durant une millise-conde : aucune – 2,5
% ; une - 9,1 % ; deux – 16,9 % ; etc… La probabilité pour que durant cette
période, il ne se produise aucune désintégration est de 2,5 % ce qui veut dire
que la probabilité pour qu’il y ait au moins une désintégration est de 97,5 %.
Elle tend vers les 100 % si les intervalles de temps pris en compte sont
augmentés.
Ce chiffre est à comparer avec la probabilité de désintégration individuelle
d’un noyau de radium 226 : 1,4/100000000000. L’événement individuel « presque
impossible » pour un atome particulier devient une certitude quand l’expérience
est répétée un très grand nombre de fois (ce qui est le cas en considérant
l’ensemble des atomes). Cette certitude devient absolue en prenant comme unité
de temps la seconde puisque l’événement se produit alors 37 milliards de fois
dans cette unité de temps et que la probabilité pour qu’il ne s’y produise pas
est alors ici totalement nulle.
Les
entrées et les sorties d’abeilles d’une ruche obéissent au même type de
répartition. La différence avec la radioactivité vient du fait que la loi évolue
au cours du temps. Selon la période de l’année, l’horaire de la journée, la
météorologie, l’activité est évidemment différente. Mais durant un temps
suffisamment court, on peut toujours la considérer comme homogène et ramener les
événements entrée ou sortie de la ruche à une distribution de Poisson (en jouant
sur la paramètre « temps »). Des compteurs électroniques à abeilles permettent
d’ailleurs aujourd’hui d’enregistrer ces mouvements. La modélisation sous forme
de loi de Poisson permet alors assez facilement d’évaluer les variations
d’activités d’une colonie et de comparer les colonies. Des mécanismes du même
type permettent de modéliser les entrées d’une grande surface (mais pas les
sorties en raison des files d’attente aux caisses). Par contre on peut alors
prévoir le nombre de caisses à ouvrir pour limiter les files d’attente… Mais
revenons aux abeilles… Trouver de façon quasi certaines les sources de nectar ou
de pollen est vitale pour la colonie. Trouver les grandes cultures humaines
(vergers, oléagineux ou autres) ne pose pas de problème. Nous même, avec notre
faible odorat, percevons les effluves des champs de colza. Trouver dans la
nature des ressources disséminées est un problème très différent. Certes,
l’abeille perçoit des signaux environnementaux qui nous échappent et les fleurs
ne sont pas réparties dans l’espace qui entoure la ruche de façon aléatoire mais
en formant des agrégats… La récolte de l’information est cependant très
efficace. La probabilité pour une abeille « éclaireuse » de trouver une source
de nectar limité dans l’espace est faible. Le nombre d’éclaireuses étant
important, cette probabilité devient quasi certaine. Ensuite, c’est l’échange
d’informations au niveau de la ruche qui fait le reste : informations sur la
localisation grâce à la danse, informations sur la nature et la qualité de la
ressource grâce à la trophallaxie et au contact antennaire… On n’est plus ici
dans une distribution de Poisson mais dans un système qui pourrait se modéliser
avec des modèles similaires à ceux utilisés pour l’économie humaine…
Enfin, les mécanismes poissonniens permettent d’évaluer le risque avoir dans les
prochaines années un nouveau parasite invasif (ou une nouvelle maladie) qui
s’attaque à nos abeilles et le risque environnemental lié aux OGM. En mai 2003,
j’ai largement abordé la problématique des espèces invasives en apiculture. De
manière plus générale, l’apiculture n’est pas la seule touchée par ce type de
phénomène. La multiplication des déplacements facilités par l’ampleur prise par
l’aviation associée à la mondialisation font que c’est chaque année plusieurs
dizaines voir centaines d’espèces nouvelles qui sont introduites sur notre seul
territoire métropolitain. Heureusement, la majorité d’entre elles ne
s’acclimatent pas. La probabilité pour une espèce donnée d’être introduite et de
devenir invasive est faible, mais là encore la répétition d’événements rend
l’événement quasi certain. En apiculture c’est la répétition permanente
d’échange d’abeilles, de reines qui rend le mécanisme d’apparition de nouvelles
parasitoses ou autres pathologie quasi certain… Après l’alerte de 2005, le
risque Æthina tumida est toujours là et il y a sans doute d’autres Æthina
tumida, Varroa destructor ou Tropilælaps claræ qui se tiennent en embuscade
quelques parts sur la planète… Le schéma d’apparition puis de mondialisation est
toujours le même :
C’est
pour la même raison que le risque écologique lié à l’utilisation des OGM est
quasi certain. Le gène introduit artificiellement dans un organisme
génétiquement modifié se comporte comme n’importe quel gène et est soumis aux
mêmes lois de la génétique des populations. Cette discipline de la génétique
nous enseigne comment évoluent les populations dans les écosystèmes. Toute être
vivant est en compétition permanente avec les individus de sa propre espèce et
ceux des autres espèces. Un individu avantagé aura une descendance plus
nombreuse que les autres. La fréquence de ses gènes augmentera dans la
population. Le risque écologique est lié au passage de gènes des OGM vers des
espèces « sauvages » génétiquement proches qui pourraient devenir invasives. On
sait très bien que, même si cela reste rarissime, la barrière des espèces est
quelquefois franchie. La probabilité individuelle de l’événement est extrêmement
faible. Pourtant la répétition du phénomène par la suite du transport du pollen
(éventuellement par des abeilles) donne une quasi certitude à l’apparition de
tels phénomènes avec répétition du schéma précédent :
Ces
explications devaient avoir lieu d’être. Ceux qui prétendent qu’il n’y a pas de
risque parce qu’un événement individuel est hautement improbable, soit, pour des
raisons de business, mentent sciemment, soit, ce qui est encore peut-être plus
grave, sont des incompétents qui ne connaissent rien dans les mécanismes de
dynamiques des populations et de sélection naturelle. C’est grave, parce que,
d’un côté les OGM ouvrent des voies très prometteuses dans le domaine de la
médecine et qu’il serait absurde de s'en passer mais que, d’un autre côté,
certaines manipulations OGM pourront avoir des conséquences désastreuses dans
des environnements souvent déjà éprouvés par le développement de l’activité
humaine liée à la croissance de l’espèce la plus invasive de la planète :
Homo sapiens...
Paul SCHWEITZER
Laboratoire d’analyses et d’écologie apicole
© CETAM 2005 – Tous droits de reproduction réservés
(1) 3,62.1010 particules • par seconde en réalité.
(2) L’avantage d’un individu est lié au milieu. Si ce dernier se modifie un
caractère favorable peut devenir défavorable et inversement.
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